Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹，公比q是的展開式中的第二項(xiàng)（按x的降冪排列）．
（1）用n，x表示通項(xiàng)a_n與前n項(xiàng)和S_n；
（2）若A_n=C_n¹S₁+C_n²S₂+…+C_nⁿS_n，用n，x表示A_n．

Answer 1

【答案】分析：第（1）問的提出是很自然的，在確定參數(shù)m和公比q時，自然需要討論排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)，此處為：，另外二項(xiàng)展開式中的第二項(xiàng)的求解需要注意題意，即按x的降冪排列．以上兩點(diǎn)注意到了很自然的能求出參數(shù)m和公比q的值來．
（2）在（1）中求得前n項(xiàng)和S_n的基礎(chǔ)上要分兩類x=1和x≠1來解答，當(dāng)x=1時的形式能使我們很容易得到表達(dá)式A_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=0C_n+1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，聯(lián)想組合數(shù)的性質(zhì)C_n+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ=2ⁿ，很容易構(gòu)造出解答A_n的式子及方法．當(dāng)x≠1時要分兩組式子分別計(jì)算得到A_n的值．
解答：解：（1）∵a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹∴∴m=3，…（2分）
由的展開式中的同項(xiàng)公式知，

∴a_n=x^n-1
∴由等比數(shù)列的求和公式得：…（4分）
（2）當(dāng)x=1時，S_n=n，
所以：A_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=0C_n+1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
又∵A_n=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+C_n¹+0C_n，
∴上兩式相加得：2A_n=n（C_n+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ，
∴A_n=n•2^n-1，
當(dāng)x≠1時，，
所以有：


∴…（10分）
點(diǎn)評：本題綜合考查了數(shù)列及數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，二項(xiàng)式定理的內(nèi)容．公比為參數(shù)x的等比數(shù)列前n項(xiàng)和的討論．對于二項(xiàng)式定理的展開應(yīng)用，本題需要注意是按照參數(shù)字母x的降冪排列，忽略這一點(diǎn)將導(dǎo)致錯誤．