Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x²-2x
（1）設h（x）=f（x+1）-g（x）（其中g(shù)′（x）是g（x）的導函數(shù)），求h（x）的最大值；
（2）設k∈Z，當x＞1時，不等式k（x-l）＜xf （x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．

Answer 1

解：（1）h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2，（x＞-1）
所以h′（x）=，當-1＜x＜0時，h′（x）＞0；當x＞0時，h′（x）＜0．
因此，h（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
故當x=0時，h（x）取得最大值h（0）=2．
（2）∵xf（x）+3g′（x）+4=xlnx+3（x-2）+4=xlnx+3x-2，
∴當x＞1時，不等式k（x-1）＜xf（x）+3g′（x）+4可化為
k＜=，所以不等式轉(zhuǎn)化為k＜對任意x＞1恒成立．
令p（x）=，則p′（x）=，令r（x）=x-lnx-2（x＞1），則r′（x）=1-=＞0
所以r（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．因為r（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，r（4）=4-ln4-2=2-2ln2＞0，
所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實根x₀，且滿足x₀∈（3，4），
當1＜x＜x₀時，r（x）＜0，即p′（x）＜0；當x＞x₀時，r（x）＞0，即p′（x）＞0．
所以函數(shù)p（x）=在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，又r（x₀）=x₀-lnx₀-2=0，所以lnx₀=x₀-2．
所以===x₀+2∈（5，6），
所以k＜[p（x）]_min=x₀+2∈（5，6）
故整數(shù)k的最大值是5．
分析：（1）求出函數(shù)h（x）的定義域，h′（x），利用h′（x）研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出h（x）的最大值．
（2）由x＞1，可知該不等式可變?yōu)閗＜恒成立，從而可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，利用導數(shù)即可求得．
點評：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)最值問題、函數(shù)恒成立問題，運用了轉(zhuǎn)化思想．