Question

19．數列{a_n}滿足${a_1}+2a_2^{\;}+{2^2}{a_3}+…+{2^{n-1}}{a_n}={n^2}$，則a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 根據題干條件求出a₁+2a₂+2²a3+…+2^n-2a_n-1=（n-1）²，與題干等式相減即可求出數列{a_n}的表達式．

解答 解：∵a₁+2a₂+2²a3+…+2^n-1a_n=n²…①，
∴a₁+2a₂+2²a3+…+2^n-2a_n-1=（n-1）²…②，
①-②得2^n-1a_n=2n-1，
∴a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
當n=1時，a₁=$\frac{1}{1}$=1=1²，
∴a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
故答案為：$\frac{2n-1}{{{2^{n-1}}}}$

點評 本題主要考查數列遞推式的知識點，解答本題的關鍵是求出a₁+2a₂+2²a3+…+2^n-2a_n-1=（n-1）²，此題比較簡單．