【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點O是對角線AC與BD的交點，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中點．

（Ⅰ）求證：OM∥平面PAB；

（Ⅱ）平面PBD⊥平面PAC；

（Ⅲ）當三棱錐C﹣PBD的體積等于 時，求PA的長．

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）見證明（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）先證明OM∥PB，再證明OM∥平面PAB; （Ⅱ）先證明BD⊥平面PAC，再證明平面PBD⊥平面PAC；（Ⅲ）根據(jù)求出PA的長.

（Ⅰ）

證明：在△PBD中，因為O，M分別是BD，PD的中點，

所以OM∥PB．又OM 平面PAB, PB平面PAB，

所以OM∥平面PAB．

（Ⅱ）因為底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．

因為PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

所以PA⊥BD．又AC∩PA=A，

所以BD⊥平面PAC．

又BD平面PBD，

所以平面PBD⊥平面PAC．

（Ⅲ）因為底面ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，

所以

又 ，三棱錐的高為PA，

所以 ，解得 ．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求與滿足的關系；

（2）當時，討論的單調性；

（3）當時，對任意的，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，(為常數(shù))

(1)若

①求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值。

②若過點可作函數(shù)的三條不同的切線，求實數(shù)的取值范圍。

(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)f（x）的最小值為﹣4，且關于x的不等式f（x）≤0的解集為{x|﹣1≤x≤3，x∈R}．

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）求函數(shù)g（x）的零點個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐S-ABC中，SA ⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC ⊥AB，D，E分別是AC，BC的中點，F在SE上，且SF=2FE.

（Ⅰ）求異面直線AF與DE所成角的余弦值；

（Ⅱ）求證：AF⊥平面SBC；

（Ⅲ）設G為線段DE的中點，求直線AG與平面SBC所成角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若曲線在點處的切線經(jīng)過點（0,1），求實數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：當時，函數(shù)至多有一個極值點；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

Ⅰ當時，取得極值，求的值并判斷是極大值點還是極小值點；

Ⅱ當函數(shù)有兩個極值點，，且時，總有成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓的左焦點為，橢圓上任意點到的最遠距離是，過直線與軸的交點任作一條斜率不為零的直線與橢圓交于不同的兩點、，點關于軸的對稱點為.

(1)求橢圓的方程；

(2)求證：、、三點共線；

(3)求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當為何值時，直線是曲線的切線；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍.

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