Question

定義在[-1，1]上的奇函數f（x）滿足f（1）=1，且當a、b∈[-1，1]，a+b≠0時，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）證明：f（x）是[-1，1]上的增函數；
（2）若f（x）≤m²+2am+1對所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
∵

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，
即

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

[x1+(-x2)]（2分）
∵x₁+（-x₂）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
則f（x）是[-1，1]上的增函數． （5分）
（2）要使f（x）≤m²+2am+1對所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只須f（x）_max≤m²+2am+1，即1≤m²+2am+1對任意的a∈[-1，1]恒成立，
亦即m²+2am≥0對任意的a∈[-1，1]恒成立．令g（a）=2ma+m²，
只須

g(-1)=-2m+m2≥0 g(1)=2m+m2≥0

，
解得m≤-2或m≥2或m=0，即為所求．       （12分）