Question

已知拋物線C：在點(diǎn)A處的切線l與直線l'：y=x+1平行．
（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)和直線l的方程；
（2）求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)切線方程，聯(lián)立切線方程與拋物線方程，根據(jù)A為切點(diǎn)，方程只有一組解求出直線l的方程；進(jìn)而求出A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先根據(jù)圓A的半徑r等于圓心A到的距離求出半徑即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)拋物線C：在點(diǎn)A處的切線l的方程為：y=x+b    ①，
由⇒x²-4x-4b=0．②
令△=4²-4×（-4b）=0⇒b=-1，代入②得x=2，結(jié)合①得y=1
所以：A（2，1），直線l的方程為y=x-1．
（2）拋物線的準(zhǔn)線為y=-1，所以圓A的半徑r等于圓心A到的距離，即r=2．
所以圓A的方程為（x-2）²+（y-1）²=4．
點(diǎn)評：本題主要考察圓與圓錐曲線的綜合問題．解決第一問的關(guān)鍵在于設(shè)切線方程，聯(lián)立切線方程與拋物線方程，根據(jù)A為切點(diǎn)，方程只有一組解求出直線l的方程．