Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（I）當(dāng)a=3時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（II）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（III）若對任意a∈(

1

3

，

1

2

)及x∈[1，3]時，恒有ma-f（x）＜1成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)a=3時，f（x）=x²-7x+3lnx，由f′（x）=2x-7+

3

x

，知切線的斜率f′（1），由此能夠求出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（II）f′（x）=2x-（2a+1）+

2

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

，令f′（x）=0，得x₁=

1

2

，x₂=a．由此對a進行分類討論，能夠求出結(jié)果．
（III）由題意可知，對?a∈（

1

3

，

1

2

），x∈[1，3]時，恒有ma-f（x）＜1成立等價于ma-1＜f（x）_min，從而求出m的取值范圍．

解答：解：（I）當(dāng)a=3時，f（x）=x²-（2a+1）x+alnx=x²-7x+3lnx，
∴f′（x）=2x-7+

3

x

，
∴f′（1）=-2，
∵f（1）=1-7=-6，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：2x+y+4=0．
（II）f′（x）=2x-（2a+1）+

2

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

，
令f′（x）=0，得x₁=

1

2

，x₂=a．
①當(dāng)a＞

1

2

時，由f′（x）＞0，得x＞a，或x＜

1

2

，
f（x）在（0，

1

2

），（a，+∞）是單調(diào)遞增．
由f′（x）＜0，得

1

2

＜x＜a，
∴f（x）在（

1

2

，a）上單調(diào)遞減．
②當(dāng)a=

1

2

時，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
③當(dāng)0＜a＜

1

2

時，由f′（x）＞0，得0＜x＜a，或x＞

1

2

，
∴f（x）在（0，a），（

1

2

，+∞）上單調(diào)增加，
由f′（x）＜0，得a＜x＜

1

2

，
∴f（x）在（a，

1

2

）上單調(diào)遞減．
（III）由題意可知，對?a∈（

1

3

，

1

2

），x∈[1，3]時，恒有ma-f（x）＜1成立
等價于ma-1＜f（x）_min，
由（II）知，當(dāng)a∈（

1

3

，

1

2

）時，f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增
∴f（x）_min=f（1）=-2a，
∴原題等價于對?a∈（

1

3

，

1

2

）時，ma-1＜-2a恒成立，
即m＞

1-2a

a

=

1

a

-2，在a∈（

1

3

，

1

2

）時，有0＜

1

a

-2＜1．
故當(dāng)m≤0時，ma-1＜-2a恒成立，
∴m≤0．

點評：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)研究某點的切線方程，關(guān)于恒成立的問題，一般都要求函數(shù)的最值，此題是一道中檔題．