Question

已知橢圓的方程為，點(diǎn)P（a，b）的坐標(biāo)滿足，過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，求：
（Ⅰ）點(diǎn)Q的軌跡方程；
（Ⅱ）點(diǎn)Q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（x，y），
當(dāng)時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y=k（x-a）+b，
由已知， （1）
，（2）
由（1）得， （3）
由（2）得， （4）
由（3）、（4）及，
得點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程， （5）
當(dāng)時(shí)，k不存在，此時(shí)l平行于y軸，因此AB的中點(diǎn)Q一定落在x軸上，即Q的坐標(biāo)為（a，0）顯然點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程（5）；
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程，
設(shè)方程（5）所表示的曲線為L(zhǎng)，
則由得，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111201/201112011536464531218.gif">，由已知，
所以當(dāng)時(shí)，△=0，曲線L與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P（a，b）；
當(dāng)時(shí)，△＜0，曲線L與橢圓C沒有交點(diǎn)，
因?yàn)椋?，0）在橢圓C內(nèi)，又在曲線L上，
所以曲線L在橢圓C內(nèi)，故點(diǎn)Q的軌跡方程為。
（Ⅱ）由，解得曲線L與y軸交于點(diǎn)（0，0），（0，b）；
由，解得曲線L與x軸交于點(diǎn)（0，0），（a，0），
當(dāng)a=0，b=0，即點(diǎn)P（a，b）為原點(diǎn)時(shí)，（a，0）、（0，b）與（0，0）重點(diǎn)，曲線L與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)（0，0）；
當(dāng)a=0且，即點(diǎn)P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的y軸上時(shí)，點(diǎn)（a，0）與（0，0）重合，曲線L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（0，b）與（0，0）；
同理，當(dāng)b=0且，即點(diǎn)P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的x軸上時(shí)，曲線L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（a，0）與（0，0）；
當(dāng)，即點(diǎn)P（a，b）在橢圓C內(nèi)且不在坐標(biāo)軸上時(shí)，曲線L與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)（a，0）、（0，b）與（0，0）。