Question

己知定義在R上的函數y=f（x）滿足f（x）=f（2-x），且當x≠1時，其導函數f′（x）滿足f′（x）＞xf′（x），若a∈（1，2），則（　�。�

• A、f（log₂a）＜f（2^a）＜f（2）
• B、f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
• C、f（log₂a）＜f（2）＜f（2^a）
• D、f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a）

Answer 1

考點：導數的運算,函數的周期性

專題：導數的概念及應用

分析：由函數的性質得到函數的對稱軸，再由f′（x）＞xf′（x），得到函數的單調區(qū)間，由函數的單調性得到要證得結論．

解答： 解：函數f（x）對定義域R內任意x都有f（x）=f（2-x），
即函數圖象的對稱軸是x=1，
∵導函數f′（x）滿足f′（x）＞xf′（x），
∴f′（x）（1-x）＞0，
∴x＜1時，f′（x）＞0，x＞1時，f′（x）＜0，
即 f（x）在（-∞，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減；
∵a∈（1，2），
∴0＜log₂a＜1；
∵f（0）=f（2），
∴f（2）＜f（log₂a）；
∵2³＞2＞1，
∴f（2^a）＜f（2），
∴f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）．
故選：B．

點評：本題考查了導數的運算，考查了函數單調性的性質，是基礎的運算題．