Question

已知數(shù)列{a_n}各項均不為0，其前n項和為S_n，且對任意n∈N^*都有（1-p）S_n=p-pa_n（p≠±1的常數(shù)），記．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）當p＞1時，設，求數(shù)列{p^k+1b_kb_k+1}的前n項和．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知（1-p）S_n=p-pa_n，可得（1-p）S_n+1=p-pa_n+1．兩式相減可得a_n+1與pa_n的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求
（2）由題意知，p≠±1時，由（1）可求S_n，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)可求f（n），進而可求f（n+1），代人可求極限
（3）由（2）可求b_n，代入p^k+1b_kb_k+1，利用裂項求和即可求解
解答：解：（1）∵（1-p）S_n=p-pa_n，①
∴（1-p）S_n+1=p-pa_n+1．②
②-①，得（1-p）a_n+1=-pa_n+1+pa_n，
即a_n+1=pa_n．（3分）
在①中令n=1，可得a₁=p．
∴{a_n}是首項為a₁=p，公比為p的等比數(shù)列，．（4分）
（2）由題意知，p≠±1時，由（1）可得．

=．
∴=，
f（n+1）=．                  （5分）
=，
所以（8分）
（3）由（2）可得，
又，
所以．         （12分）
點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推關(guān)系求解數(shù)列的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，數(shù)列的極限的求解，本題具有一定的綜合性