已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F作兩條相互垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N．求證：直線MN恒過定點(diǎn)．
【答案】分析：若要證直線MN必過定點(diǎn)P，只需求出含參數(shù)的直線MN的方程，觀察是否過定點(diǎn)即可．因此設(shè)出A、B、M、N的坐標(biāo)，用A、B坐標(biāo)表示M、N坐標(biāo)，從而求出直線MN方程，化簡得y=（x-3），可得直線必過點(diǎn)（3，0），命題得證．
解答：解：設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4）
把直線AB：y=k（x-1）代入y2=4x，得
k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
∴x3==1+，y3=k（x3-1）=
同理可得，x4=1+2k2，y4=-2k
∴kMN==
∴直線MN為y-=（x-1-），即y=（x-3），
結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式，可得直線恒過定點(diǎn)P（3，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線互相垂直的弦AB、CD，求它們的中點(diǎn)確定的直線恒過定點(diǎn)．著重考查了直線與拋物線位置關(guān)系、直線過定點(diǎn)的判斷等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，過M作斜率為k的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為P，AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E（x0，0）．
（1）求k的取值范圍；
（2）求證：x0＞3；
（3）△PEF能否成為以EF為底的等腰三角形？若能，求此k的值；若不能，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線
y
2
 
=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)A（4，4）作直線l：x=-1垂線，垂足為M，則∠MAF的平分線所在直線的方程為
x-2y+4=0
x-2y+4=0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=4x，焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，點(diǎn)P（m，n）在拋物線上移動(dòng)，Q是OP的中點(diǎn)，M是FQ的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）求
nm+3
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=4x與直線2x+y-4=0相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，那么|
FA
|+|
FB
|=
7
7
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=4x，其焦點(diǎn)為F，P是拋物線上一點(diǎn)，定點(diǎn)A（6，3），則|PA|+|PF|的最小值是
7
7
．

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