Question

已知集合M={f（x）|y=f（x）}，其元素f（x）須同時滿足下列三個條件：
①定義域?yàn)椋?1，1）；
②對于任意的x，y∈（-1，1），均有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；
③當(dāng)x＜0時，f（x）＞0．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）∈M，證明：y=f（x）在定義域上為奇函數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)h(x)=ln

1-x

1+x

，判斷是否有h（x）∈M，說明理由；
（Ⅲ）若f（x）∈M且f(-

1

2

)=1，求函數(shù)y=f(x)+

1

2

的所有零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（I）令x=y=O，由已知可得f（0）=0，令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，進(jìn)而根據(jù)奇函數(shù)的定義可得y=f（x）在定義域上為奇函數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的解析式h(x)=ln

1-x

1+x

，求出函數(shù)的定義域，并驗(yàn)證條件①②③是否成立，進(jìn)而根據(jù)集合M的定義判斷h（x）∈M是否成立；
（III）根據(jù)已知分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可以分析出函數(shù)在定義域上至多有一個零點(diǎn)，結(jié)合f(-

1

2

)=1可求出該零點(diǎn)．

解答：證明：（I）若函數(shù)f（x）∈M，
則函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1），關(guān)于原點(diǎn)對稱
令x=y=O，則由f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)得f（0）+f（0）=f（0）
即f（0）=0
令y=-x
則f（x）+f（-x）=f（0）=0
即y=f（x）在定義域上為奇函數(shù)；
（Ⅱ）h（x）∈M，理由如下：
函數(shù)h(x)=ln

1-x

1+x

的定義域?yàn)椋?1，1），滿足條件①
且h(x)+h(y)=ln

1-x

1+x

+ln

1-y

1+y

=ln

1-x

1+x

•

1-y

1+y

=ln

1+xy-x-y

1+xy+x+y

h(

x+y

1+xy

)=ln

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=ln

1+xy-x-y

1+xy+x+y

故h（x）+h（y）=h(

x+y

1+xy

)，滿足條件②
當(dāng)-1＜x＜0時，

1-x

1+x

＞1，此時h（x）＞0，滿足條件③
故h（x）∈M
（III）令-1＜x＜y＜1，則x-y＜0，1-xy＞0，則

x-y

1-xy

＜0
由f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)及（1）可得f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)
又∵當(dāng)x＜0時，f（x）＞0
∴f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)＞0
即f（x）＞f（y）
故f（x）在區(qū)間（-1，1）上為減函數(shù)，故函數(shù)至多有一個零點(diǎn)
∵f(-

1

2

)=1，∴f(

1

2

)=-1
又∵當(dāng)x=y=2-

3

時，f(2-

3

)+f(2-

3

)=f(

1

2

)
∴f(2-

3

)=-

1

2

，此時y=f(x)+

1

2

=0
故函數(shù)y=f(x)+

1

2

的零點(diǎn)為2-

3

點(diǎn)評：本題是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，同時又有一個比較難理解的新定義集合M，且（III）中函數(shù)零點(diǎn)的求法難度也比較大．