Question

如圖1，某學(xué)校田徑場上有一旗桿OP，為了測量它的高度，在地面上選一基線AB，設(shè)其長度為d，在A點(diǎn)處測得P點(diǎn)的仰角為α，在B點(diǎn)處測得P點(diǎn)的仰角為β．
（1）若AB=20，α=30°，β=45°，且∠AOB=30°，求旗桿的高度h；
（2）經(jīng)分析若干測得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)將基線AB調(diào)整到線段AO上（如圖2），α與β之差盡量大時，可以提高測量精確度，設(shè)調(diào)整后AB的距離為d，tanβ=，旗桿的實(shí)際高度為25，試問d為何值時，β-α最大？

Answer 1

解：（1）在Rt△POA中，OA=h，在Rt△POB中，OB=h，
在Rt△AOB中，d²=（h）²+h²-2•h•hcos30°，其中：d=20，得：h=20，
故旗桿的高度為20
（2）∵tanα=，tanβ=
∴tan（β-α）===≤==
當(dāng)且僅當(dāng)d（h+4）=即d=時“=”成立
故當(dāng)d=時，tan（β-α）最大，
∵0＜α＜β＜，∴0＜β-α＜，
∴當(dāng)d=時，β-α最大
分析：（1）利用余弦定理，可得AB²=OA²+OB²-2OA•OBcos∠AOB，即可求旗桿的高度h；
（2）計算tan（β-α），利用基本不等式，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查差角的正切公式，考查正切函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．