【題目】如圖四棱錐E﹣ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,△BCE為等邊三角形,△ABE是以∠A為直角的等腰直角三角形,且AC=BC.

(Ⅰ)證明:平面ABE⊥平面BCE;
(Ⅱ)求二面角A﹣DE﹣C的余弦值.

【答案】解:(Ⅰ)證明:設(shè)O為BE的中點(diǎn),連接AO與CO,

則AO⊥BE,CO⊥BE.

設(shè)AC=BC=2,則AO=1, ,AO2+CO2=AC2,

∠AOC=90°,所以AO⊥CO,

故平面ABE⊥平面BCE.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知AO,BE,CO兩兩互相垂直.OE的方向?yàn)閤軸正方向,OE為單位長(zhǎng),

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,

則A(0,0,1),E(1,0,0), ,B(﹣1,0,0),

所以 , , ,

設(shè) =(x,y,z)是平面ADE的法向量,則 ,即 所以

設(shè) 是平面DEC的法向量,則 ,同理可取 ,

= ,所以二面角A﹣DE﹣C的余弦值為


【解析】(Ⅰ)由題意作出輔助線,利用已知由勾股定理可求出∠AOC=90°即AO⊥CO,根據(jù)面面垂直的判定定理可得證。(Ⅱ)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出各個(gè)向量的坐標(biāo),設(shè)出平面ADE和平面DEC的法向量,由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求出法向量,再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式求出余弦值即可。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí),掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅱ)解不等式;

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