Question

已知函數(shù)f(x)＝(x²－x＋)e^ax(a＞0)

(1)求曲線f(x)在點(diǎn)A(0，f(0))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(3)是否存在實(shí)數(shù)a∈(1，2)，使f(x)＞當(dāng)x∈(0，1)時(shí)恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)a；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵a＞0，， 　　∴ 　　＝　　2分 　　于是，，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(0，f(0))處的切線方程為，即(a－2)x－ay＋1＝0　　4分 　　(2)∵a＞0，eax＞0，∴只需討論的符號(hào)　　5分 　　ⅰ)當(dāng)a＞2時(shí)，＞0，這時(shí)(x)＞0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)． 　�、�)當(dāng)a＝2時(shí)，(x)＝2x2e2x≥0，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)　　6分 　�、�)當(dāng)0＜a＜2時(shí)，令(x)＝0，解得，． 　　當(dāng)x變化時(shí)，(x)和f(x)的變化情況如下表： 　　∴f(x)在，為增函數(shù)，f(x)在為減函數(shù)　　9分 　　(3)當(dāng)a∈(1，2)時(shí)，∈(0，1)．由(2)知f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，，所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)恒成立，等價(jià)于恒成立．當(dāng)a∈(1，2)時(shí)，，設(shè)，則，表明g(t)在(0，1)上單調(diào)遞減，于是可得，即a∈(1，2)時(shí)恒成立，因此，符合條件的實(shí)數(shù)a不存在　　14分