如圖一,平面四邊形ABCD關(guān)于直線AC對稱,∠A=60°,∠C=90°,CD=2.把△ABD沿BD折起(如圖二),使二面角A-BD-C的余弦值等于.對于圖二,完成以下各小題:
(Ⅰ)求A,C兩點(diǎn)間的距離;
(Ⅱ)證明:AC⊥平面BCD;
(Ⅲ)求直線AC與平面ABD所成角的正弦值.

【答案】分析:(I)取BD的中點(diǎn)E,先證得∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角,再在△ACE中利用余弦定理即可求得A,C兩點(diǎn)間的距離;
(II)欲證線面垂直:AC⊥平面BCD,轉(zhuǎn)化為證明線線垂直:AC⊥BC,AC⊥CD,即可;
(III)欲求直線AC與平面ABD所成角,先結(jié)合(I)中的垂直關(guān)系作出直線AC與平面ABD所成角,最后利用直角三角形中的邊角關(guān)系即可求出所成角的正弦值.
解答:解:(Ⅰ)取BD的中點(diǎn)E,連接AE,CE,
由AB=AD,CB=CD,得:AE⊥BD,CE⊥BD
∴∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角,
(2分)
在△ACE中,
AC2=AE2+CE2-2AE•CE•cos∠AEC
=
∴AC=2(4分)

(Ⅱ)由,AC=BC=CD=2
∴AC2+BC2=AB2,AC2+CD2=AD2,
∴∠ACB=∠ACD=90°(6分)
∴AC⊥BC,AC⊥CD,
又BC∩CD=C∴AC⊥平面BCD.(8分)

(Ⅲ)由(Ⅰ)知BD⊥平面ACEBD?平面ABD
∴平面ACE⊥平面ABD(10分)
平面ACE∩平面ABD=AE,
作CF⊥AE交AE于F,則CF⊥平面ABD,∠CAF就是AC與平面ABD所成的角,(12分)
.(14分)
點(diǎn)評:本題主要考查了點(diǎn)、線、面間的距離計算、直線與平面垂直的判定、直線與平面所成的角,以及空間幾何體的概念、空間想象力,是中等題.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖一,平面四邊形ABCD關(guān)于直線AC對稱,∠A=60°,∠C=90°,CD=2.把△ABD沿BD折起(如圖二),使二面角A-BD-C的余弦值等于
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.對于圖二,完成以下各小題:
(Ⅰ)求A,C兩點(diǎn)間的距離;
(Ⅱ)證明:AC⊥平面BCD;
(Ⅲ)求直線AC與平面ABD所成角的正弦值.

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如圖一,平面四邊形ABCD關(guān)于直線AC對稱,,,。

沿BD折起(如圖二),使二面角A-BD-C的余弦值等于。對于圖二,

(1)求的長,并證明:平面;

(2)求直線與平面所成角的正弦值。

 

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(本題滿分14分)

如圖一,平面四邊形ABCD關(guān)于直線AC對稱,,,。

沿BD折起(如圖二),使二面角A-BD-C的余弦值等于。對于圖二,

(1)求的長,并證明:平面;

(2)求直線與平面所成角的正弦值。

 

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(Ⅰ)求A,C兩點(diǎn)間的距離;
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如圖一,平面四邊形ABCD關(guān)于直線AC對稱,∠A=60°,∠C=90°,CD=2.把△ABD沿BD折起(如圖二),使二面角A-BD-C的余弦值等于.對于圖二,完成以下各小題:
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