Question

（2010•天津模擬）已知函數(shù)f(x)=1+cos2x-2sin2(x-

π

6

)，其中x∈R，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

• A．f（x）的最大值為2
• B．將函數(shù)y=

  3

  sin2x的圖象左移

  π

  6

  得到函數(shù)f（x）的圖象
• C．f（x）是最小正周期為π的偶函數(shù)
• D．f（x）的一條對稱軸是x=

  π

  3

Answer 1

分析：把函數(shù)解析式第三項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，約分合并后再利用和差化積公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的余弦函數(shù)，
A、由余弦函數(shù)的值域得到函數(shù)的最大值，即可作出判斷；
B、根據(jù)三角函數(shù)平移規(guī)律：左加右減及誘導公式變形求出函數(shù)y=

3

sin2x的圖象左移

π

3

得到的函數(shù)解析式，即可作出判斷；
C、找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

求出函數(shù)的最小正周期，同時根據(jù)余弦函數(shù)為偶函數(shù)得到f（x）也為偶函數(shù)，即可作出判斷；
D、根據(jù)余弦函數(shù)的對稱軸為kπ，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，根據(jù)k為正整數(shù)，可判斷x=

π

3

不是函數(shù)的對稱軸．

解答：解：f(x)=1+cos2x-2sin2(x-

π

6

)
=1+cos2x-2×

1-cos(2x- π 3 )

2

=cos2x+cos（2x-

π

3

）
=2cos（2x-

π

6

）cos

π

6

=

3

cos（2x-

π

6

），
∴函數(shù)的最大值為

3

，故選項A錯誤；
將函數(shù)y=

3

sin2x的圖象左移

π

3

得到函數(shù)
y=

3

sin2（x+

π

3

）=

3

sin（2x+

2π

3

）的圖象，
即為y=cos（2x+

π

6

）的圖象，故選項B錯誤；
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，且由余弦函數(shù)為偶函數(shù)得到f（x）為偶函數(shù)，
故選項C正確；
根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得：2x-

π

6

=kπ，k∈Z，解得：x=

kπ

2

+

π

12

，
若x=

π

3

是函數(shù)的對稱軸，則有x=

kπ

2

+

π

12

=

π

3

，解得k=

1

2

，不合題意，
故選項D錯誤，
故選C

點評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，二倍角的余弦函數(shù)公式，積化和差公式，余弦函數(shù)的對稱性及奇偶性，以及三角函數(shù)圖象的平移規(guī)律，其中靈活運用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個角的余弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．