【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知點A,B的坐標分別為(﹣2,0),(2,0).直線AP,BP相交于點P,且它們的斜率之積是﹣ .記點P的軌跡為Г. (Ⅰ)求Г的方程;
(Ⅱ)已知直線AP,BP分別交直線l:x=4于點M,N,軌跡Г在點P處的切線與線段MN交于點Q,求 的值.
【答案】解:(Ⅰ)設點P坐標為(x,y),則 直線AP的斜率 (x≠﹣2);
直線BP的斜率 (x≠2).
由已知有 (x≠±2),
化簡得點P的軌跡Г的方程為 (x≠±2).
(Ⅱ)設P(x1 , y1)(x1≠±2),則 .
直線AP的方程為 ,令x=4,得點M縱坐標為 ;
直線BP的方程為 ,令x=4,得點N縱坐標為 ;
設在點P處的切線方程為y﹣y1=k(x﹣x1),
由 ,得 .
由△=0,得 =0,
整理得 .
將 代入上式并整理得: ,解得 ,
∴切線方程為 .
令x=4得,點Q縱坐標為 = .
設 ,則yQ﹣yM=λ(yN﹣yQ),
∴ .
∴ .
將 代入上式,得 ,
解得λ=1,即 =1.
【解析】(Ⅰ)設出P點坐標,求得AP、BP所在直線的斜率,由斜率之積是﹣ 列式整理即可得到Г的方程;(Ⅱ)設出P點坐標,得到AP、BP的方程,進一步求出M、N的縱坐標,再寫出橢圓在P點的切線方程,由判別式等于0得到過P的斜率(用P的坐標表示),再代入切線方程,求得Q點縱坐標,設 ,轉化為坐標的關系即可求得λ,從而得到 的值.
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程,需要了解橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:才能得出正確答案.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,點,直線l:,設圓C的半徑為1,圓心C在直線l上.
過點A作圓C的切線AP且P為切點,當切線AP最短時,求圓C的標準方程;
若圓C上存在點M,使,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.
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【題目】某人用一網箱飼養(yǎng)中華鱘,研究表明:一個飼養(yǎng)周期,該網箱中華鱘的產量(單位:百千克)與購買飼料費用()(單位:百元)滿足:.另外,飼養(yǎng)過程中還需投入其它費用.若中華鱘的市場價格為元/千克,全部售完后,獲得利潤元.
(1)求關于的函數(shù)關系式;
(2)當為何值時,利潤最大,最大利潤是多少元?
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【題目】在數(shù)列{an}中,已知a1>1,an+1=an2﹣an+1(n∈N*),且 +…+ =2.則當a2016﹣4a1取得最小值時,a1的值為= .
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【題目】某商場銷售某種品牌的空調器,每周周初購進一定數(shù)量的空調器,商場每銷售一臺空調器可獲利500元,若供大于求,則每臺多余的空調器需交保管費100元;若供不應求,則可從其他商店調劑供應,此時每臺空調器僅獲利潤200元. (Ⅰ)若該商場周初購進20臺空調器,求當周的利潤(單位:元)關于當周需求量n(單位:臺,n∈N)的函數(shù)解析式f(n);
(Ⅱ)該商場記錄了去年夏天(共10周)空調器需求量n(單位:臺),整理得表:
周需求量n | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
頻數(shù) | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,若商場周初購進20臺空調器,X表示當周的利潤(單位:元),求X的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】某市地產數(shù)據(jù)研究所的數(shù)據(jù)顯示,2016年該市新建住宅銷售均價走勢如圖所示,3月至7月房價上漲過快,政府從8月采取宏觀調控措施,10月份開始房價得到很好的抑制.
(1)地產數(shù)據(jù)研究所發(fā)現(xiàn),3月至7月的各月均價(萬元/平方米)與月份之間具有較強的線性相關關系,試求關于的回歸直線方程;
(2)若政府不調控,按照3月份至7月份房價的變化趨勢預測12月份該市新建住宅的銷售均價.
參考數(shù)據(jù):,,;
參考公式:,.
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【題目】某輪胎集團有限公司生產的輪胎的寬度 (單位: )服從正態(tài)分布,公司規(guī)定:輪胎寬度不在內將被退回生產部重新生產.
(1)求此輪胎不被退回的概率(結果精確到);
(2)現(xiàn)在該公司有一批輪胎需要進行初步質檢,檢驗方案是從這批輪胎中任取件作檢驗,這件產品中至少有件不被退回生產部,則稱這批輪胎初步質檢合格.
()求這批輪胎初步質檢合格的概率;
()若質檢部連續(xù)質檢了批輪胎,記為這批輪胎中初步質檢合格的批數(shù),求的數(shù)學期望.
附:若,則 .
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【題目】某大型商場為了了解顧客的購物信息,隨機在商場收集了位顧客的購物總額(單位元),將數(shù)據(jù)按照 , 分成組,制成了如下圖所示的頻率分布直方圖:
該商場每日大約有名顧客,為了增加商場銷售總額,近期對一次性購物不低于元的顧客發(fā)放紀念品.
(1)求頻率分布直方圖中的值,并估計每日應準備紀念品的數(shù)量;
(2)若每日按分層抽樣的方法從購物總額在三組對應的顧客中抽取名顧客,這名顧客中再隨機抽取兩名超級顧客,每人獎勵一個超級禮包,求獲得超級禮包的兩人來自不同組的概率.
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【題目】某大學為調查來自南方和北方的同齡大學生的身高差異,從2016級的年齡在18~19歲之間的大學生中隨機抽取了來自南方和北方的大學生各10名,測量他們的身高,量出的身高如下(單位:cm):
南方:158,170,166,169,180,175,171,176,162,163.
北方:183,173,169,163,179,171,157,175,184,166.
(1)根據(jù)抽測結果,畫出莖葉圖,對來自南方和北方的大學生的身高作比較,寫出統(tǒng)計結論.
(2)設抽測的10名南方大學生的平均身高為cm,將10名南方大學生的身高依次輸入如圖所示的程序框圖進行運算,問輸出的s大小為多少?并說明s的統(tǒng)計學意義。
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