Question

已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，準(zhǔn)線方程是y=-1的拋物線與過點(diǎn)M（0，1）的直線交于A，B兩點(diǎn)，若直線OA和直線OB的斜率之和為1。
（Ⅰ）求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求直線的方程；
（Ⅲ ）求直線與拋物線相交弦AB的弦長(zhǎng)。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可知拋物線焦點(diǎn)在y軸正半軸，
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由準(zhǔn)線方程是y=-1，可得p=2，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為：y=kx+1，
代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，消y整理得，
設(shè)，，
則，                                         ①
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110113/20110113105040360968.gif">，，代入①，
得，                              ②
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110113/20110113105113219974.gif">，，代入②得k=1，
所以直線的方程為：y=x+1。
（Ⅲ）將直線方程與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立得：，
消y整理得，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110113/20110113105205125952.gif">，，
∴。