已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx的圖象過點（-4n，0），且f′（0）=2n，n∈N*．
（1）若數(shù)列{an} 滿足，且a1=4，求數(shù)列{an} 的通項公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足：b1=1，，當n≥3，n∈N*時，求證：①；②．
【答案】分析：（1）求導函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx的圖象過點（-4n，0），且f′（0）=2n，可得b=2n，16n2a-4nb=0，從而可得函數(shù)的解析式，利用數(shù)列{an} 滿足，f′（x）=x+2n，結合疊加法，即可求得結論；
（2）先證明，，從而有，可得b2n+1＜b2n-1；又，，從而結論成立；②由得，相減得，再疊加，利用放縮法，即可證得結論．
解答：（1）解：求導函數(shù)可得f′（x）=2ax+b，由題意知b=2n，16n2a-4nb=0
∴a=，b=2n，則f（x）=x2+2nx，n∈N*．             （2分）
∵數(shù)列{an} 滿足，f′（x）=x+2n，
∵，∴，
∵a1=4，
∴=
∴   （6分）
（2）證明：①由b1=1得，由得
即，∴，∴b2n+1＜b2n-1
由及b1=1，可得：，
∵，∴b2n＜b2n+1（10分）
②由得
相減得
由①知：bn≠bn+1
所以==（14分）
點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項，考查放縮法的運用，確定數(shù)列的通項，正確放縮是關鍵．
練習冊系列答案
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已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

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