Question

已知f(x)=-x3+ax2-4

(a∈R)

，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，對任意的m∈[-1，1]，n∈[-1，1]，求f（m）+f'（n）的最小值；
（3）若?x₀∈（0，+∞），使f（x）＞0，求a取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知f（x）=-x³+2x²-4，f′（x）=-3x²+4x，由導(dǎo)數(shù)解出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）可分別求f（m）、f′（n）的最小值，再求f（m）+f′（n）的最小值，
（2）存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0即尋找f（x）_max＞0的變量a的范圍．由此知可先求函數(shù)函數(shù)在（0，+∞）上的最大值，再令最大值大于0即可得到關(guān)于a的不等式，解此不等式求出它的取值范圍

解答：解：（1）由題意知f（x）=-x³+2x²-4，f′（x）=-3x²+4x
令f′（x）=0，得x=0或

4

3

令f′（x）＞0，可解得x∈（0，

4

3

），令f′（x）＜0，可解得x∈（-∞，0）∪（

4

3

，+∞），
故函數(shù)在x∈（0，

4

3

）上是增函數(shù)，在（-∞，0）與（

4

3

，+∞）上是減函數(shù)，
（2）由（1）知
當(dāng)x在[-1，1]上變化時(shí)，f（x），f′（x）隨x的變化情況如下表：

∴對于m∈[-1，1]，f（m）的最小值為f（0）=-4，
∵f′（x）=-3x²+4x的對稱軸為 x =

2

3

且拋物線開口向下
∴對于n∈[-1，1]，f′（n）的最小值為f′（-1）=-7，
∴f（m）+f′（n）的最小值為-11．
（2）∵f′（x）=-3x（x-

2a

3

）
①若a≤0，當(dāng)x＞0，時(shí)f′（x）＜0
∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，又f（0）=-4，則當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜-4∴當(dāng)a≤0時(shí)，不存在x₀＞0，使f（x₀）＞0
②若a＞0，則當(dāng)0＜x＜

2a

3

時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x＞

2a

3

時(shí)，f′（x）＜0從而f（x）在（0，

2

3

]上單調(diào)遞增，在[

2a

3

，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）_max=f（

2a

3

）=-

8a3

27

+

4a2

9

-4
根據(jù)題意，

4a3

27

-4＞0，即a³＞27，解得a＞3
綜上，a的取值范圍是（3，+∞）

點(diǎn)評：本題考查利用求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的最值，及函數(shù)恒成立問題的求解，轉(zhuǎn)化的思想及推理判斷的能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的方法，本題運(yùn)算量較大，易出錯(cuò)，解題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真，