Question

函數(shù)y=x²的曲線上點(diǎn)A處的切線與直線3x-y+1=0的夾角為45°，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出切點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出y的導(dǎo)函數(shù)，把A點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入y的導(dǎo)函數(shù)中求出切線的斜率，又直線3x-y+1=0的斜率為3，根據(jù)夾角公式列出方程求出A點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把A的橫坐標(biāo)代入曲線方程中即可得到A的縱坐標(biāo)，寫出A的坐標(biāo)即可．

解答：解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則y′|_x=x0=2x|_x=x0=2x₀=k₁，又直線3x-y+1=0的斜率k₂=3．
∴tan45°=1=

|k2-k1|

|1++k2k1|

=|

3-2x0

1+6x0

|．解得x₀=

1

4

或x₀=-1．
將x₀=

1

4

或x₀=-1分別代入到y(tǒng)═x²中得到y(tǒng)₀=

1

16

或y₀=1，
所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

4

，

1

16

）或（-1，1）．
故答案為：（

1

4

，

1

16

）或（-1，1）

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，靈活運(yùn)用兩直線夾角的公式化簡(jiǎn)求值．