Question

（2012•東城區(qū)二模）已知點A（a，b）與點B（1，0）在直線3x-4y+10=0的兩側，給出下列說法：
①3a-4b+10＞0；
②當a＞0時，a+b有最小值，無最大值；
③

a2+b2

＞2；
④當a＞0且a≠1，b＞0時，

b

a-1

的取值范圍為（-∞，-

5

2

）∪（

3

4

，+∞）．
其中，所有正確說法的序號是

③④

．

Answer 1

分析：根據點A（a，b）與點B（1，0）在直線3x-4y+10=0的兩側，我們可以畫出點A（a，b）所在的平面區(qū)域，進而結合二元一次不等式的幾何意義，兩點之間距離公式的幾何意義，及兩點之間連線斜率的幾何意義，逐一分析四個答案．可得結論．

解答：解：∵點A（a，b）與點B（1，0）在直線3x-4y+10=0的兩側，
故點A（a，b）在如圖所示的平面區(qū)域內

故3a-4b+10＜0，即①錯誤；
當a＞0時，a+b＞

5

2

，a+b即無最小值，也無最大值，故②錯誤；
設原點到直線3x-4y+10=0的距離為d，則d=

10

32+(-4)2

=2，則

a2+b2

＞d=2，故③正確；
當a＞0且a≠1，b＞0時，

b

a-1

表示點A（a，b）與B（1，0）連線的斜率
∵當a=0，b=

5

2

時，

b

a-1

=-

5

2

，又∵直線3x-4y+10=0的斜率為

3

4

故

b

a-1

的取值范圍為（-∞，-

5

2

）∪（

3

4

，+∞），故④正確；
故答案為：③④

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，線性規(guī)劃的簡單應用，熟練掌握相關的幾個幾何意義是解答的關鍵．