Question

已知函數(shù)f（x）=；
（1）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上的單調(diào)性，并給出證明；
（2）是否存在負(fù)數(shù)x₀，使得f（x₀）=成立，若存在求出x₀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1），∴f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)，
下面用定義給出證明：
設(shè)x₁＜x₂＜-1，則，
∵x₂-x₁＞0，x₁+1＜0，x₂+1＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)．
（2）∵x₀＜0時(shí)，，
由（1）知，f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上為減函數(shù)，
當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）＜-1，當(dāng)-1x＜0時(shí)，x＞2，故當(dāng)x₀＜0時(shí)，f（x）＞2或f（x）＜-1，
故不存在負(fù)數(shù)x₀，使得f（x₀）=成立．
分析：（1）先把f（x）化簡(jiǎn)，然后用定義給出證明；
（2）由f（x）的單調(diào)性求出f（x）在x∈（-∞，-1）∪（-1，0）上的值域，求出3^x在x∈（-∞，-1）∪（-1，0）上的值域，若兩值域交集非空，則存在x₀，否則不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，注意體會(huì)定義在判斷單調(diào)性中的應(yīng)用．