Question

2．定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且f（x）滿足：對任意的x₁，x₂∈（-∞，2]（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，且f（4）=0，則關(guān)于x不等式$\frac{f（x）}{x}＜0$的解集是（　�。�

• A． （-∞，0）∪（4，+∞）
• B． （0，2）∪（4，+∞）
• C． （-∞，0）∪（0，4）
• D． （0，2）∪（2，4）

Answer 1

分析 由已知可得函數(shù)f（x）在（-∞，2]上為減函數(shù)，且f（4）=0，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，可得：f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)，且f（0）=0，分類討論可得答案．

解答 解：∵對任意的x₁，x₂∈（-∞，2]（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，2]上為減函數(shù)，且f（4）=0，
又由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，
∴f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)，且f（0）=0，
當(dāng)x∈（-∞，0），f（x）＞0，滿足$\frac{f（x）}{x}＜0$，
當(dāng)x∈（0，4），f（x）＜0，滿足$\frac{f（x）}{x}＜0$，
當(dāng)x∈（4，+∞），f（x）＜0，不滿足$\frac{f（x）}{x}＜0$，
綜上可得：x∈（-∞，0）∪（0，4），
故選：C．

點評 本題考查的知識點是抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的對稱性，函數(shù)的零點，難度中檔．