Question

已知，函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)（設(shè)為和）時(shí)，求證：.

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，實(shí)質(zhì)上就是確定分子的正負(fù)，從而確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，即對(duì)分子的的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論，從而確定的符號(hào)情況，進(jìn)而確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（2）根據(jù)、與之間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理得出以及的表達(dá)式，代入所證的不等式中，利用分析法將所要證的不等式轉(zhuǎn)化為證明不等式，利用作差法，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)圍繞來(lái)證明.

試題解析：（1），

，考慮分子

當(dāng)，即時(shí)，在上，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)解不相等的實(shí)數(shù)根：，，顯然，

當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在和上單調(diào)遞增.

（2）、是的兩個(gè)極值點(diǎn)，故滿足方程，

即、是的兩個(gè)解，，

而在中，，

因此，要證明，

等價(jià)于證明，

注意到，只需證明，即證，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

因此，從而，即，原不等式得證.

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.分類(lèi)討論；3.分析法；4.構(gòu)造新函數(shù)證明函數(shù)不等式