Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcos（

π

2

-x）-2

3

sin（π+x）cosx
（1）求y=f（x）的最小正周期，并說明由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的平移伸縮變換可得到函數(shù)y=f（x）的圖象？
（2）若0≤x≤

π

2

，求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

（1）∵cos（

π

2

-x）=sinx，sin（π+x）=-sinx，
∴f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx=1-cos2x+

3

sin2x=2sin（2x-

π

6

）+1，…（2分）
因此，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，…（3分）
該函數(shù)f（x）圖象是由y=sinx的圖象先右移

π

6

個單位，然后縱坐標不變橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span mathtag="math" >

1

2

，
然后橫坐標不變縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，最后上平移移1個單位而得．…（6分）
（2）∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，可得0≤2sin（2x-

π

6

）+1≤3…（9分）
∴函數(shù)y=f（x）的值域是[0，3]…（12分）