Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC₁=2，點D是AA₁的中點．
（1）證明：平面BC₁D⊥平面BCD；
（2）求CD與平面BC₁D所成角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明面ABC⊥面ACC₁A₁，由于AC⊥BC，可得BC⊥面ACC₁A₁，所以BC⊥C₁D，再證明CD⊥C₁D，可得C₁D?面BC₁D，從而可得面BCD⊥面BC₁D；
（2）過點C作CH⊥BD交BD于H，可證∠CDH的大小就是CD與平面BC₁D所成角的大小，在△CDC₁中，可求CD與平面BC₁D所成角的正切值．
解答：（1）證明：∵ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴CC₁⊥平面ABC，∴面ABC⊥面ACC₁A₁
由于AC⊥BC，AC=面ABC∩面ACC₁A₁，∴BC⊥面ACC₁A₁，∴BC⊥C₁D
又∵在矩形ACC₁A₁中，AA₁=2AC，點D是AA₁的中點，∴CD⊥C₁D．
∵CD∩BC=C，
∴C₁D⊥面BCD
∵C₁D?面BC₁D，
∴面BCD⊥面BC₁D--------（7分）
（2）解：過點C作CH⊥BD交BD于H，

∵平面BC₁D⊥平面BCD，面BC₁D∩面BCD=BD，∴CH⊥面BC₁D．
∴∠CDH就是CD與平面BC₁D所成角．--（11分）
在△CDC₁中，BC=1，CD=，
∴．-------------（14分）
點評：本題考查面面垂直，考查線面角，解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定，正確作出線面角，屬于中檔題．