Question

已知數列{a_n}為等差數列,a₃=5,a₇=13,數列{b_n}的前n項和為S_n,且有S_n=2b_n-1,
(1)求{a_n},{b_n}的通項公式.
(2)若c_n=a_nb_n,{c_n}的前n項和為T_n,求T_n.

Answer 1

（1）a_n=2n-1(n∈N^*)      b_n=2^n-1(n∈N^*).
（2）T_n=(2n-3)·2ⁿ+3(n∈N^*)

(1)因為{a_n}是等差數列,且a₃=5,a₇=13,設公差為d.
所以解得
所以a_n=1+2(n-1)=2n-1(n∈N^*).
在{b_n}中,因為當n=1時,b₁=2b₁-1,所以b₁=1.
當n≥2時,由S_n=2b_n-1及S_n-1=2b_n-1-1可得b_n=2b_n-2b_n-1,所以b_n=2b_n-1.
所以{b_n}是首項為1公比為2的等比數列,
所以b_n=2^n-1(n∈N^*).
(2)c_n=a_nb_n=(2n-1)·2^n-1,
T_n=1+3×2+5×2²+…+(2n-1)×2^n-1�、�
2T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+(2n-3)·2^n-1+(2n-1)·2ⁿ②
①-②得
-T_n=1+2×2+2×2²+…+2×2^n-1-(2n-1)·2ⁿ
=1+2×-(2n-1)·2ⁿ
=1+4(2^n-1-1)-(2n-1)·2ⁿ=-3-(2n-3)·2ⁿ,
所以T_n=(2n-3)·2ⁿ+3(n∈N^*).