Question

已知雙曲線(xiàn)c：，以右焦點(diǎn)F為圓心，|OF|為半徑的圓交雙曲線(xiàn)兩漸近線(xiàn)于點(diǎn)M、N （異于原點(diǎn)O），若|MN|=，則雙曲線(xiàn)C的離心率 是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   

Answer 1

C
分析：連接NF，設(shè)MN交x軸于點(diǎn)B，根據(jù)雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程結(jié)合圖形的對(duì)稱(chēng)性，求出N（，），再由|NF|=c在Rt△BNF中利用勾股定理建立關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理可得c=2a，由此即可得到該雙曲線(xiàn)的離心率．
解答：連接NF，設(shè)MN交x軸于點(diǎn)B
∵⊙F中，M、N關(guān)于OF對(duì)稱(chēng)，
∴∠NBF=90°且|BN|=|MN|==，
設(shè)N（m，），可得=，得m=
Rt△BNF中，|BF|=c-m=
∴由|BF|²+|BN|²=|NF|²，得（）²+（）²=c²
化簡(jiǎn)整理，得b=c，可得a=，故雙曲線(xiàn)C的離心率e==2
故選：C
點(diǎn)評(píng)：本題給出以雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)F為圓心的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，在已知圓F被兩條漸近線(xiàn)截得弦長(zhǎng)的情況下求雙曲線(xiàn)的離心率，著重考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．