Question

a、b、c、m∈R⁺，a^m=b^m+c^m，若長(zhǎng)為a、b、c三線段能構(gòu)成三角形，求m的取值范圍．

Answer 1

根據(jù)題意，由a^m=b^m+c^m，可得（

b

a

）^m+（

c

a

）^m=1，且a＞b，a＞c；
設(shè)（

b

a

）^m=sin²θ；（

c

a

）^m=cos²θ，（0°＜θ＜90°）
化簡(jiǎn)可得：b=a?

m	sin2θ

，c=a?

m	cos2θ

；
若長(zhǎng)為a、b、c三線段能構(gòu)成三角形，則b+c＞a，
即a?

m	sin2θ

+a?

m	cos2θ

＞a；
整理可得，

m	sin2θ

+

m	cos2θ

＞1=sin²θ+cos²θ，
由冪函數(shù)的性質(zhì)分析可得，
當(dāng)且僅當(dāng)m＞1時(shí)，

m	sin2θ

＞sin²θ與

m	cos2θ

＞cos²θ同時(shí)成立，
即b+c＞a，
故m的取值范圍為m＞1．