Question

（2012•閔行區(qū)一模）某地政府為改善居民的住房條件，集中建設(shè)一批經(jīng)適樓房．用了1400萬元購買了一塊空地，規(guī)劃建設(shè)8幢樓，要求每幢樓的面積和層數(shù)等都一致，已知該經(jīng)適房每幢樓每層建筑面積均為250平方米，第一層建筑費用是每平方米3000元，從第二層開始，每一層的建筑費用比其下面一層每平方米增加80元．
（1）若該經(jīng)適樓房每幢樓共x層，總開發(fā)費用為y=f（x）萬元，求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式（總開發(fā)費用=總建筑費用+購地費用）；
（2）要使該批經(jīng)適房的每平方米的平均開發(fā)費用最低，每幢樓應(yīng)建多少層？

Answer 1

分析：（1）確定每幢經(jīng)適樓房從下到上各層的總建筑費用構(gòu)成以75為首項，2 為公差的等差數(shù)列，利用總開發(fā)費用=總建筑費用+購地費用，可得函數(shù)表達(dá)式；
（2）由（1）知經(jīng)適樓房每平方米平均開發(fā)費用為：g（x）=

f(x)

8×250x

×10000=40（x+

175

x

+74)，利用基本不等式即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由已知，每幢經(jīng)適樓房最下面一層的總建筑費用為：3000×250=750000元=75（萬元），
從第二層開始，每幢每層的建筑總費用比其下面一層多：80×250=20000元=2（萬元），
每幢經(jīng)適樓房從下到上各層的總建筑費用構(gòu)成以75為首項，2 為公差的等差數(shù)列，（2分）
根據(jù)總開發(fā)費用=總建筑費用+購地費用，可得函數(shù)表達(dá)式為：y=f（x）=8[75x+

x(x-1)

2

×2]+1400=8x²+592x+1400； （6分）
（2）由（1）知經(jīng)適樓房每平方米平均開發(fā)費用為：g（x）=

f(x)

8×250x

×10000=40（x+

175

x

+74)≥40（2

175

+74）≈4018（元）         （12分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=

175

x

，即x≈13.2時等號成立，
但由于x∈N₊，驗算：當(dāng)x=13時，g（x）≈4018，當(dāng)x=14時，g（x）≈4020．
答：該經(jīng)適樓建為13層時，每平方米平均開發(fā)費用最低．         （14分）

點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查等差數(shù)列，考查基本不等式的運用，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的模型，屬于中檔題．