Question

1．（文）函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，$0≤φ≤\frac{π}{2}$）在x∈（0，9π）內(nèi)只能取到一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，且當(dāng)x=π時(shí)，y有最大值4，當(dāng)x=8π時(shí)，y有最小值-4．
（1）求出此函數(shù)的解析式以及它的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，滿(mǎn)足不等式$Asin（ω\sqrt{m+1}+φ）＞Asin（ω\sqrt{-m+4}+φ）$？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得到A和半周期，再由周期公式求得ω，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)求得φ，則函數(shù)解析式可求，最后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}m+1≥0\\-m+4≥0\end{array}\right.$求得-1≤m≤4，得到$\sqrt{m+1}$和$\sqrt{-m+4}$的范圍，再由（1）中的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式求解．

解答 解：（1）由當(dāng)x=π時(shí)，y有最大值4，當(dāng)x=8π時(shí)，y有最小值-4，可得A=4，
由$\frac{T}{2}=7π$，得$\frac{π}{ω}$=7π，解得$ω=\frac{1}{7}$．
把x=π，y=4代入$4sin（\frac{1}{7}π+φ）=4$，得$φ=\frac{5π}{14}+2kπ$（k∈Z），
又$0≤φ≤\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{5π}{14}$，
從而函數(shù)的解析式為$y=4sin（\frac{1}{7}x+\frac{5π}{14}）$．
令$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{1}{7}x+\frac{5π}{14}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得14kπ-6π≤x≤14kπ+π，
∴該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[14kπ-6π，14kπ+π]（k∈Z）；
（2）存在實(shí)數(shù)m∈（$\frac{3}{2}，4$），滿(mǎn)足不等式$Asin（ω\sqrt{m+1}+φ）＞Asin（ω\sqrt{-m+4}+φ）$．
由$\left\{\begin{array}{l}m+1≥0\\-m+4≥0\end{array}\right.$，得-1≤m≤4，
∴$0≤\sqrt{m+1}≤\sqrt{5}$，$0≤\sqrt{-m+4}≤\sqrt{5}$．
由（1）知$y=4sin（\frac{1}{7}x+\frac{5π}{14}）$在$[0，\sqrt{5}]$上單調(diào)遞增，
∵$Asin（ω\sqrt{m+1}+φ）＞Asin（ω\sqrt{-m+4}+φ）$，
∴$\sqrt{m+1}＞\sqrt{-m+4}$，得$m＞\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{2}＜m≤4$，
故存在實(shí)數(shù)m∈（$\frac{3}{2}，4$），滿(mǎn)足不等式$Asin（ω\sqrt{m+1}+φ）＞Asin（ω\sqrt{-m+4}+φ）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．