Question

如圖，用一副直角三角板拼成一直二面角A-BD-C，若其中給定 AB=AD=2，∠BCD=90°，∠BDC=60°，
（Ⅰ）求三棱錐A-BCD的體積；
（Ⅱ）求點(diǎn)A到BC的距離．

Answer 1

分析：（I）由已知中，用一付直角三角板拼成一直二面角A-BD-C，若其中給定 AB=AD=2，∠BCD=90°，∠BDC=60°，我們利用面面垂直的性質(zhì)，我們易求出三棱錐A-BCD的高AE的長(zhǎng)，及底面△BCD的面積，代入棱錐體積公式，即可得到答案．
（II）過(guò)E點(diǎn)做EF∥CD，利用線面垂直的性質(zhì)及判定定理，我們易判斷AF即為點(diǎn)A到BC的距離，在RT△AEF中，求出AE及EF值后，利用勾股定理，我們易求出AF的值．

解答：解：（Ⅰ）∵直二面角A-BD-C是由一付直角三角板拼成
又∵AB=AD=2，則△ABD是以A為直角的等腰直角三角形，BD=2

2

又∵∠BCD=90°，∠BDC=60°，
∴CD=

2

，BC=

6

，S△BCD=

1

2

•

2

•

6

=

3

取BD的中點(diǎn)E，連接AE，則AE⊥BD，AE=

2

，如圖所示
則AE⊥平面BCD，
則V_A-BCD=

1

3

•AE•S△BCD=

1

3

•

2

•

3

=

6

3

（Ⅱ）過(guò)E點(diǎn)做EF∥CD，則EF=

2

2

，且EF⊥BC
又∵AE⊥BC，AE∩EF=E
則BC⊥平面AEF
∴AF⊥BC，則線段AF長(zhǎng)即為A點(diǎn)到BC的距離
在直角三角形AEF中，AF=

AE2+EF2

=

2+ 1 2

=

5 2

=

10

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間點(diǎn)、線、面的距離計(jì)算，棱錐的體積，其判斷AE⊥平面BCD（即AE是平面BCD上的高）及判斷AF垂直BC（即AF長(zhǎng)為點(diǎn)A到BC的距離）是解答本題的關(guān)鍵．