Question

如圖，正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E為AB中點，F(xiàn)為正方形BCC₁B₁的中心.

（1）求直線EF與平面ABCD所成角的正切值；

（2）求異面直線A₁C與EF所成角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)

【解析】

試題分析：解法一：（1）取BC中點H，連結FH，EH，設正方體棱長為2．

∵F為BCC₁B₁中心，E為AB中點．

∴FH⊥平面ABCD，F(xiàn)H=1，EH=．

∴∠FEH為直線EF與平面ABCD所成角，且FH⊥EH．

∴tan∠FEH===．……6分

（2）取A₁C中點O，連接OF，OA，則OF∥AE，且OF=AE．

∴四邊形AEFO為平行四邊形．∴AO∥EF．

∴∠AOA₁為異面直線A₁C與EF所成角．

∵A₁A=2，AO=A₁O=．

∴△AOA₁中，由余弦定理得cos∠A₁OA=．……12分

解法二：設正方體棱長為2，以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標系．則B（0，0，0），B₁（0，0，2），E（0，1，0），F(xiàn)（1，0，1），

C（2，0，0），A₁（0，2，2）．

（1）=（1，－1，1），=（0，0，2），且為平面ABCD的法向量．

∴cos<，>=．

設直線EF與平面ABCD所成角大小為θ．

∴sinθ=，從而tanθ=．……6分

（2）∵=（2，－2，－2）．∴cos<，>=．

∴異面直線A₁C與EF所成角的余弦值為．……12分

考點：異面直線所成的角，線面角

點評：解決的關鍵是根據(jù)異面直線所成角的定義， 以及線面角的概念，結合向量法來得到，屬于基礎題。