Question

已知函數(shù)f(x)=

2

x

-log2

1+mx

1-x

是奇函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）請討論它的單調(diào)性，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)奇偶性的定義可知，f（-x）+f（x）=0，將f（x）的解析式代入求解m即可．
（2）先求出f（x）的定義域，因為函數(shù)是奇函數(shù)，故只要先判斷f（x）在（0，1）內(nèi)的單調(diào)性即可，可由單調(diào)性的定義直接判斷．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）+f（x）=0；
即(-

2

x

-log2

1-mx

1+x

)+(

2

x

-log2

1+mx

1-x

)=0，解得：m=1，其中m=-1（舍）；
經(jīng)驗證當(dāng)m=1時，f(x)=

2

x

-log2

1+x

1-x

(x∈(-1，0)∪(0，1))確是奇函數(shù)．
（2）先研究f（x）在（0，1）內(nèi)的單調(diào)性，任取x₁、x₂∈（0，1），且設(shè)x₁＜x₂，則
f(x1)-f(x2)=

2

x1

-

2

x2

+[lo g2(

2

1-x2

-1)-log2(

2

1-x1

-1)]，
由

2

x1

-

2

x2

＞0，log2(

2

1-x2

-1)-log2(

2

1-x1

-1)＞0，
得f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減；
由于f（x）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)f（x）在（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明及已知奇偶性求參數(shù)和奇偶性的應(yīng)用問題，屬基本題型的考查．