Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²-x+a，若函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點(diǎn)恰有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＜0
B．a(chǎn)≤0
C．a(chǎn)≤1
D．a(chǎn)≤0或a=1

Answer 1

【答案】分析：要使函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點(diǎn)恰有兩個(gè)，則根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，則只需要當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點(diǎn)恰有一個(gè)即可．
解答：解：因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以g（x）=f（x）-x也是奇函數(shù)，
所以要使函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點(diǎn)恰有兩個(gè)，
則只需要當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點(diǎn)恰有一個(gè)即可．
由g（x）=f（x）-x=0得，g（x）=x²-x+a-x=x²-2x+a=0，
若△=0，即4-4a=0，解得a=1．
若△＞0，要使當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，則g（0）=a≤0，
所以此時(shí)，解得a≤0．
綜上a≤0或a=1．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．