Question

（2012•黃浦區(qū)一模）若x，y∈R，且xy＞0，則下列不等式中能恒成立的是（　�。�

• A．x2+y2＞

  (x+y)2

  2

• B．x+y≥2

  xy

• C．

  1

  x

  +

  1

  y

  ≥

  2

  xy

• D．

  x

  y

  +

  y

  x

  ≥2

Answer 1

分析：根據(jù)題意，分析選項(xiàng)，對于A，舉出反例x=y=1可得其錯(cuò)誤；對于B，舉出反例x=y=-1，可得其錯(cuò)誤，對于C，出反例x=y=-1，可得其錯(cuò)誤，對于D，由xy＞0，可得

x

y

與

y

x

均為正值，由基本不等式可得

x

y

+

y

x

≥2

y x × x y

=2，可得D正確；即可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，分析選項(xiàng)，
對于A，當(dāng)x=y=1時(shí)，x²+y²=

(x+y)2

2

=2，則A錯(cuò)誤；
對于B，當(dāng)x=y=-1時(shí)，左邊x+y=-2，而右邊2

xy

=2，此時(shí)x+y＜2

xy

，則B錯(cuò)誤，
對于C，當(dāng)x=y=-1時(shí)，

1

x

+

1

y

=-2，而右邊

2

xy

=2，此時(shí)x+y＜2

xy

，則C錯(cuò)誤，
對于D，根據(jù)題意，因?yàn)閤y＞0，則

x

y

與

y

x

均為正值，則

x

y

+

y

x

≥2

y x × x y

=2，即

x

y

+

y

x

≥2成立，D正確；
故選D．

點(diǎn)評：本題考查基本不等式的性質(zhì)，注意基本不等式成立的條件：一正二定三相等，對于選擇題的選項(xiàng)，也可以用特殊值法構(gòu)造反例．