Question

如圖所示,三棱柱ABCA₁B₁C₁中,AA₁⊥平面ABC,D、E分別為A₁B₁、AA₁的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱AB上,且AF=AB.

(1)求證:EF∥平面BC₁D;
(2)在棱AC上是否存在一個點(diǎn)G,使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1∶15,若存在,指出點(diǎn)G的位置;若不存在,說明理由.

Answer 1

(1)見解析   (2) 不存在.理由見解析

(1)證明:取AB的中點(diǎn)M,

∵AF=AB,
∴F為AM的中點(diǎn),
又∵E為AA₁的中點(diǎn),
∴EF∥A₁M.
在三棱柱ABCA₁B₁C₁中,D、M分別為A₁B₁、AB的中點(diǎn),
∴A₁D∥BM,A₁D=BM,
∴四邊形A₁DBM為平行四邊形,
∴A₁M∥BD,
∴EF∥BD,
∵BD⊆平面BC₁D,EF?平面BC₁D,
∴EF∥平面BC₁D.
(2)解:設(shè)AC上存在一點(diǎn)G,使得平面EFG將三棱柱分割成兩部分的體積之比為1∶15,
則∶=1∶16,
∵=
=×××
=·.
∴·=,
∴=,
∴AG=AC>AC.
所以符合要求的點(diǎn)G不存在.