Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1
（1）求a_n
（2）設(shè)b_n=2ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式求出公差與公差，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由b_n=2ⁿa_n=（2n-1）•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）由已知得

4a1+6d=8a1+4d a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵b_n=2ⁿa_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：
-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=-2-2（2²+2³+…+2ⁿ）+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．