Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

a2x3+3ax2+8x，g(x)=x3+3m2x-8m，
（Ⅰ）求f（x）在x=1處的切線斜率的取值范圍；
（Ⅱ）求當f（x）在x=1處的切線的斜率最小時，f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否總存在實數(shù)m，使得對任意的x₁∈[-1，2]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導數(shù)，在x=1處的導數(shù)就是切線斜率，再求其取值范圍；
（Ⅱ）直接求當f（x）在x=1處的切線的斜率最小時，f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，先求函數(shù)的導數(shù)，再確定單調(diào)性，是否總存在實數(shù)m，
使得對任意的x₁∈[-1，2]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，
就是g（x₀）的值域包含f（x₁），求出g（x₀）的最大值和最小值，再求實數(shù)m的取值范圍；

解答：解：（1）f′（x）=a²x²+6ax+8，f′（1）=a²+6a+8=（a+3）²-1≥-1
所以f（x）在x=1處的切線斜率的取值范圍為[-1，+∞）（4分）
（2）由（1）知a=-3，則f（x）=3x³-9x²+8x（6分）
（3）f′（x）=9x²-18x+8=（3x-2）（3x-4），則有
（10分）
所以當x₁∈[-1，2]時，-20≤f（x₁）≤4，
假設對任意的x₁∈[-1，2]都存在x₀∈[0，1]使得g（x₀）=f（x₁）成立，
設g（x₀）的最大值為T，最小值為t，則

T≥4 t≤-20

（12分）
又g′（x）=9x²+3m²＞0，所以當x₀∈[0，1]時，
T=g（1）=1+3m²-8m≥4且t=g（0）=-8m≤-20，所以m≥3．（14分）

點評：本題考查直線的斜率，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．