Question

過點(diǎn)P（2，1）的直線y-1=k（x-2）（k為常數(shù)，k≠

1

2

）分別交兩坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，若

OP

=t

OA

+s

OB

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

1

t

+

1

s

的最小值是（　�。�

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：根據(jù)題意，點(diǎn)P在直線AB上且在A、B兩點(diǎn)之間，所以可設(shè)

AP

=λ

PB

，其中λ＞0．由此推導(dǎo)出

OP

=

1

1+λ

OA

+

λ

1+λ

OB

，再結(jié)合已知等式：

OP

=t

OA

+s

OB

，得到 t=

1

1+λ

，s=

λ

1+λ

，從而得到t+s=1且t、s都是小于1的正數(shù)．最后利用“1的代換”和基本不等式，可以求出

1

t

+

1

s

的最小值．

解答：解：∵點(diǎn)P在線段AB上，即在直線AB上且在A、B兩點(diǎn)之間，
∴可以設(shè)

AP

=λ

PB

且λ＞0，
∵

AP

=

OP

-

OA

、

PB

=

OB

-

OP

，
∴

OP

-

OA

═λ(

OB

-

OP

)，
∴

OP

=

1

1+λ

OA

+

λ

1+λ

OB

，
再結(jié)合題意：

OP

=t

OA

+s

OB

，得到

t= 1 1+λ s= λ 1+λ

．
∴t+s=1，因?yàn)棣耍?所以t、s都是小于1的正數(shù)，
∴

1

t

+

1

s

=（t+s）（

1

t

+

1

s

）=2+（

t

s

+

s

t

），

∵

t

s

+

s

t

≥2

t s • s t

=2，
∴

1

t

+

1

s

≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t=s=

1

2

時(shí)，

1

t

+

1

s

的最小值為4．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量基本定理和基本不等式求最值等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．解題過程中巧妙地避免了運(yùn)用坐標(biāo)進(jìn)行繁瑣的代數(shù)化簡(jiǎn)，請(qǐng)同學(xué)們注意這點(diǎn)．