Question

已知a＞1，函數(shù)f（x）=log_a（x²-ax+2）在x∈[2，+∞）時的值恒為正．
（1）a的取值范圍；
（2）記（1）中a的取值范圍為集合A，函數(shù)g（x）=log₂（tx²+2x-2）的定義域為集合B．若A∩B≠∅，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲使x²-ax+2＞1在x∈[2，+∞）時恒成立，轉(zhuǎn)化成在x∈[2，+∞）時恒成立，根據(jù)
函數(shù)在[2，+∞）上的單調(diào)性求出最小值即可，使a小于最小值即可，注意條件a＞1；
（2）先求出集合A，表示出集合B，根據(jù)A∩B≠∅，得不等式tx²+2x-2＞0有屬于A的解，即有屬于A的解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的值域，即可求出t的范圍．
解答：解：（1）x²-ax+2＞1在x∈[2，+∞）時恒成立．即在x∈[2，+∞）時恒成立．
又函數(shù)在[2，+∞）上是增函數(shù)，
所以，
從而．（6分）
（2）A=，B={x|tx²+2x-2＞0}．
由于A∩B≠∅，
所以不等式tx²+2x-2＞0有屬于A的解，
即有屬于A的解．（8分）
又時，，
所以=∈．
故．（12分）
點評：本題主要考查了二次函數(shù)恒成立問題，以及函數(shù)的單調(diào)性等有關(guān)基礎(chǔ)知識，同時考查了分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．