Question

已知函數(shù)f(x)=lnx+

a

x-1

在（2，+∞）內(nèi)有極值．
（Ⅰ） 求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ） 若x∈（0，1），y∈（1，+∞），求證：2f（x）+4ln2＜2f（y）-3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，由題意知，f′（x）=0在（2，+∞）內(nèi)有解，進(jìn)一步可得g（2）＜0，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ） 利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，證明f（y）-f（x）≥f（x₂）-f（x₁），利用韋達(dá)定理即可得出結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：由題意，0＜x＜1或x＞1時(shí)，f′(x)=

1

x

-

a

(x-1)2

=

x2-(a+2)x+1

x(x-1)2

．
由題意知，f′（x）=0在（2，+∞）內(nèi)有解，
令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-x₁）（x-x₂），
不妨設(shè)x₁＞2，由x₁x₂=1知0＜x1＜

1

2

，
∴g（2）＜0，即2²-2（a+2）+1＜0，
∴a＞

1

2

；
（Ⅱ）證明：由f′（x）＞0得0＜x＜x₁或x＞x₂；由f′（x）＜0得x₁＜x＜1或1＜x＜x₂；
∴函數(shù)f（x）在（0，x₁）內(nèi)遞增，在（x₁，1）內(nèi)遞減；函數(shù)f（x）在（1，x₂）內(nèi)遞減，在（x₂，+∞）內(nèi)遞增，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f(x)≤f(x1)=lnx1+

a

x1-1

；
當(dāng)y∈（1，+∞）時(shí)，f(x)≥f(x2)=lnx2+

a

x2-1

；
∴f（y）-f（x）≥f（x₂）-f（x₁）…．（3分）
又∵x₁x₂=1，x₁+x₂=a+2，
∴f(x2)-f(x1)=(lnx2+

a

x2-1

)-(lnx1+

a

x1-1

)=lnx2-lnx1+

x1+x2-2

x2-1

-

x1+x2-2

x1-1

=2lnx2+x2-

1

x2

記h(x)=2lnx+x-

1

x

，則h′(x)=

2

x

+1+

1

x2

，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
由x₂＞2，知h(x2)＞h(2)=2ln2+

3

2

，即2lnx2+x2-

1

x2

＞2ln2+

3

2

，
∴f(x2)-f(x1)＞2ln2+

3

2

，
∴f(y)-f(x)＞2ln2+

3

2

，即2f（x）+4ln2＜2f（y）-3

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大．