Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），a＞0．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：

1

e

+

1

e7

+

1

e17

+…+

1

e2n2-1

＜

11

15

，n∈N*．

Answer 1

分析：（1）令f′（x）=1-aln（x+1）-a=0，得x=e

1-a

a

-1，由此能求出f（x）在（-1，e

1-a

a

-1]上單調(diào)遞增，在[e

1-a

a

-1，+∞）單調(diào)遞減．
（2）由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（-1，0]上單調(diào)遞增，在[0，+∞）上單調(diào)遞減，故當(dāng)x∈（-1，0）∪（0，+∞）時(shí)，
恒有x-（x+1）ln（x+1）＜0，即e

x

x+1

＜x+1．由此能夠證明：

1

e

+

1

e7

+

1

e17

+…+

1

e2n2-1

＜

11

15

，n∈N*．

解答：（1）解：∵函數(shù)f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），a＞0．
∴f′（x）=1-aln（x+1）-a，x＞-1，
令f′（x）=1-aln（x+1）-a=0，
得x=e

1-a

a

-1，
列表，得

x	（-1，e 1-a a -1）	e 1-a a -1	（e 1-a a -1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	極大值	↓

∴f（x）在（-1，e

1-a

a

-1]上單調(diào)遞增，在[e

1-a

a

-1，+∞）單調(diào)遞減；
（2）證明：由（1）知，
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（-1，0]上單調(diào)遞增，在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
故當(dāng)x∈（-1，0）∪（0，+∞）時(shí)，
恒有f（x）＜f′（0），
即x-（x+1）ln（x+1）＜0，
即ln（x+1）＞

x

x+1

，即e

x

x+1

＜x+1．
取x=

1

2n2

-1∈(-1，0)，n∈N⁺，
則有e

1 2n2 -1

1 2n2

=e1-2n2
＜（

1

2n2

-1）+1
=

2

4n2

＜

2

4n2-1

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，n∈N+，
求和得

1

e

+

1

e7

+

1

e17

+…+

1

e2n2-1

≤

1

e

+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

e

+

1

3

-

1

2n+1

＜

1

2.5

+

1

3

=

2

5

+

1

3

=

11

15

，n∈N⁺．

點(diǎn)評(píng)：本題考查f（x）的單調(diào)區(qū)間的求法和證明：

1

e

+

1

e7

+

1

e17

+…+

1

e2n2-1

＜

11

15

，n∈N*．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是f（x）＜f′（0）等價(jià)于e

x

x+1

＜x+1的推導(dǎo)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．