Question

設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿足a≠b，求證：a⁴+b⁴＞ab（a²+b²）．

Answer 1

分析：直接利用作差法化簡(jiǎn)表達(dá)式為因式乘積的形式，判斷因式的符號(hào)，推出結(jié)果．

解答：選修4-5：不等式選講
證明：作差得a⁴+b⁴-ab（a²+b²）=a³（a-b）+b³（b-a）=（a-b）²（a²+ab+b²）．         …（4分）
=（a-b）²[（a+

b

2

）²+

3b2

4

]．                                  …（6分）
因?yàn)閍≠b，所以a，b不同時(shí)為0，故（a+

b

2

）²+

3b2

4

＞0，（a-b）²＞0，
所以（a-b）²[（a+

b

2

）²+

3b2

4

]＞0． 
即有a⁴+b⁴＞ab（a²+b²）．  …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，綜合法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．