Question

在R⁺上的遞減函數(shù)f（x）同時滿足：（1）當且僅當x∈M?R⁺時，函數(shù)值f（x）的集合為[0，2]；（2）f（）=1；（3）對M中的任意x₁、x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）；（4）y=f（x）在M上的反函數(shù)為y=f^-1（x）．
（1）求證：∈M，但∉M；
（2）求證：f^-1（x₁）•f^-1（x₂）=f^-1（x₁+x₂）；
（3）解不等式：f^-1（x²-x）•f^-1（x-1）≤．

Answer 1

解：（1）證明：因為∈M，又=，f（）=1，
所以f（）=f（×）=f（）+f（）=2∈[0，2]，所以∈M，
又因為f（）=f（×）=f（）+f（）=3∉[0，2]，所以∉M；
（2）因為y=f（x）在M上遞減，所以y=f（x）在M有反函數(shù)y=f^-1（x），x∈[0，2]
任取x₁、x₂∈[0，2]，設y₁=f^-1（x₁），y₂=f^-1（x₂），
所以x₁=f（y₁），x₂=f（y₂）（y₁、y₂∈M）
因為x₁+x₂=f（y₁）+f（y₂）=f（y₁y₂），
所以y₁y₂=f^-1（x₁+x₂），又y₁y₂=f^-1（x₁）f^-1（x₂），
所以：f^-1（x₁）•f^-1（x₂）=f^-1（x₁+x₂）；
（3）因為y=f（x）在M上遞減，所以f^-1（x）在[0，2]上也遞減，
f^-1（x²-x）•f^-1（x-1）≤等價于：f^-1（x²-x+x-1）≤f^-1（1）

即：
所以≤x≤2．
分析：（1）根據(jù)當且僅當x∈M?R⁺時，函數(shù)值f（x）的集合為[0，2]，且f（）=1，對M中的任意x₁、x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），即可證得結論；
（2）根據(jù)y=f（x）在M上遞減，可得y=f（x）在M有反函數(shù)y=f^-1（x），x∈[0，2]，任取x₁、x₂∈[0，2]，設y₁=f^-1（x₁），y₂=f^-1（x₂），所以x₁=f（y₁），x₂=f（y₂）（y₁、y₂∈M），代入f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）即可證得結論；（3）f^-1（x²-x）•f^-1（x-1）≤等價于：f^-1（x²-x+x-1）≤f^-1（1），利用函數(shù)的單調(diào)性，即可把原不等式轉(zhuǎn)化為，解此不等式組即可求得結果．
點評：此題考查抽象函數(shù)及其應用，反函數(shù)以及利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式等問題，特別是問題（3），利用函數(shù)的單調(diào)性把不等式f^-1（x²-x）•f^-1（x-1）≤轉(zhuǎn)化為，是解題的關鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，同時考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬中檔題．