Question

已知數(shù)列{a_n}是首項a₁=1的等比數(shù)列，且a_n＞0，{b_n}是首項為l的等差數(shù)列，又a₅+b₃=21，a₃+b₅=13．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式
（2）求數(shù)列{

bn

2an

}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a₅+b₃=21，a₃+b₅=13求出數(shù)列{a_n}的公比，數(shù)列{b_n}的公差，從而求出數(shù)列的通項公式；
（2）根據(jù)（1）中求得的結(jié)果代入{

bn

2an

}中，應(yīng)用錯位相減法求出前n項和．

解答：解：（1）設(shè){a_n}的公比為q，{b_n}的公差為d，則由已知條件得：

q4+1+2d=21 q2+1+4d=13

解之得：d=2，q=2或q=-2（舍去）
∴a_n=2^n-1，b_n=1+2（n-1）=2n-1

（2）由（1）知

bn

2an

=

2n-1

2n

∴sn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

 +

2n-1

2n

     ①
∴

1

2

sn=

1

22

+

3

23

+ …+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

       ②
①-②得：

1

2

sn=

1

2

+

2

22

+

2

23

 +…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

即

1

2

sn=

1

2

+(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

2n-1

2n+1

=

1

2

+

1 2 [1-( 1 2 )n-1】

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+1-(

1

2

)n-1-

2n-1

2n+1

∴Sn=3-

2n+3

2n

點評：（1）考查等差等比數(shù)列的基本運算；（2）錯位相減法主要考查學(xué)生的計算能力，好題，屬中檔題．