Question

已知數列{a_n}滿足a_n+1=且a₁=1，則a₃-a₁=________；若設b_n=a_2n+2-a_2n，則數列{b_n}的通項公式為________．

Answer 1

-5    b_n=-5（-2）^n-1
分析：（1）對于{a_n}的對應法則，分別取n=1和n=2，算出a₂、a₃之值，即可得到a₃-a₁=-5；
（2）由{a_n}的遞推關系，算出a_2n+2=-2a_2n+1，從而得到b_n=-3a_2n+1，進而有b_n+1=6a_2n-2=-2b_n，所以{b_n}構成首項是-5，公比為-2的等比數列，根據等比數列通項公式可算出數列{b_n}的通項公式．
解答：（1）∵a_n+1=，
∴a₂=a₁₊₁=a₁+1=2，而a₃=a₂₊₁=-2a₂=-4，
因此，a₃-a₁=-4-1=-5．
（2）根據題意，得a_2n+2=a_2n+1+1=-2a_2n+1，
∴b_n=a_2n+2-a_2n=-3a_2n+1，
從而b_n+1=-3a_2n+2+1=-3（-2a_2n+1）+1=6a_2n-2，
∴b_n+1=-2b_n，
可得{b_n}構成首項b₁=a₄-a₂=-5，公比為-2的等比數列，
因此，數列{b_n}的通項公式為b_n=-5（-2）^n-1．
故答案為：-5，b_n=-5（-2）^n-1
點評：本題給出數列{a_n}遞推式，求數列b_n=a_2n+2-a_2n的通項公式，著重考查了數列遞推關系和等比數列的通項公式等知識，屬于中檔題．