已知函數(shù)f（x）=ln（2x-1）+ax2-3x在x=1處取得極值．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：?x∈（1，3]，m∈（0，+∞），數(shù)學(xué)公式．

解：（1）f′（x）=+2ax-3，由f′（1）=0，得a=．（4分）
∴f（x）=ln（2x-1）+，f/（x）=，
有圖可知函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間為
增區(qū)間為：，減區(qū)間為：（8分）

（2）由f（x）在遞增，在遞減．在x=1時(shí)取得極大值
又f（3）=ln5-f（3）=ln5-f（3）=ln5-，-
所以在?x∈（1，3]，f（x）＜-
又m∈（0，+∞），-4≥2-4=-2，（當(dāng)m=1時(shí)取等號(hào)）
即-4的最小值為-2，-2＞-
∴?x∈（1，3]，f（x）＜-4恒成立．
分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），令f′（1）=0，求出a值；將a的值代入f′（x）中；令f′（x）＞0求出遞增區(qū)間，令f′（x）＜0，求出遞減區(qū)間．
（2）求出f（x）的極大值與端點(diǎn)值求出f（x）在（1，3]的最大值；利用基本不等式求出的最小值，
得到的最小值大于f（x）的最大值，得證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率；考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及求極值、最值；考查基本不等式求函數(shù)的最值．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對(duì)任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對(duì)稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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